Die Firma Füco stellt Rollladenmotoren her. Erfahrungsgemäß sind 6 % der Motoren defekt. Um Kosten zu sparen, sollen die Motoren vor dem Einbau mit einem Gerät überprüft werden. Das Prüfgerät zeigt bei 96 % der defekten Motoren einen Fehler an, es zeigt aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 % bei einwandfreien Motoren einen Fehler an. Der Austausch eines Motors verursacht Kosten in Höhe von 5 €. Wird jedoch ein defekter Motor in den Rollladenkasten eingebaut und muss danach getauscht werden, so betragen die Kosten 25 €.
Bestimmen Sie die zu erwartenden Kosten, falls das Prüfgerät verwendet wird. (10 Punkte)
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus 1 mit den durchschnittlichen Kosten, die entstehen, falls die Motoren ohne vorherige Prüfung eingebaut werden. (5 Punkte)
Aufgabe 2: Erwartungswert einer Zufallsvariablen (HA)
Die Firma Füco stellt Rollladenmotoren her. Erfahrungsgemäß sind 7,5 % der Motoren defekt. Um Kosten zu sparen, sollen die Motoren vor dem Einbau mit einem Gerät überprüft werden. Das Prüfgerät zeigt bei 93 % der defekten Motoren einen Fehler an, es zeigt aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % bei einwandfreien Motoren einen Fehler an. Der Austausch eines Motors verursacht Kosten in Höhe von 7,50 €. Wird jedoch ein defekter Motor in den Rollladenkasten eingebaut und muss danach getauscht werden, so betragen die Kosten 35 €.
Bestimmen Sie die zu erwartenden Kosten, falls das Prüfgerät verwendet wird. (10 Punkte)
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus 1 mit den durchschnittlichen Kosten, die entstehen, falls die Motoren ohne vorherige Prüfung eingebaut werden. (5 Punkte)
3. Aufgabe – Zufallsvariable (25 Punkte)
Die Produzent von innovativen Lampen „Erleuchtung GmbH & Co.KG“ plant programmierbare Partylampen mit Bewegungsmeldernund Bluetooth-Schnittstelle auf den Markt zu bringen. DieProduktionskosten betragen 10 Euro und der geplante Absatzpreisliegt bei 35 Euro. Alternativ stehen zwei Fertigungsstraßen zur Produktion zur Verfügung, die allerdings nicht nur mit unterschiedlichen Investitionskosten verbunden sind, sondern auch Produktionsmängel in unterschiedlichem Ausmaß verursachen.
Anlage 1: Jährliche Kosten: 500.000 Euro 4% Defekte an den LEDs; die Bewegungsmelder funktionieren immer einwandfrei und nur bei 97 % funktioniert die Steuerung über Bluetooth.
Anlage 2: Jährliche Kosten: 600.000 Euro2% Defekte an den LEDs; bei 1% funktionieren die Bewegungsmelder nicht einwandfrei, die Steuerung über Bluetooth funktioniert immer.
Kosten für die Beseitigung der Mängel:
Sind die LEDs defekt, so werden sie ausgetauscht und verursachen Kosten in Höhe von 5 Euro.
Der Austausch der Bewegungsmelder kostet 10 Euro.
Eine defekte Bluetooth-Schnittstelle verursacht Kosten in Höhe von 8 Euro.
Hat eine Lampe zwei oder mehr Mängel wird sie entsorgt.
Analysiere die Situation und gebe der Erleuchtung GmbH & Co KG eine Empfehlung. Lösungshinweis: Erstelle für jede Anlage eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Deckungsbeiträge (→ erzielter Preis pro Stück – Kosten pro Stück), berechne dann den Erwartungswert für den Deckungsbeitrag pro Maschine aus und dann die kritische Absatzmenge.
4. Aufgabe – Zufallsvariable (HA)
Die Produzent von innovativen Lampen „Erleuchtung GmbH & Co.KG“ plant programmierbare Partylampen mit Bewegungsmeldernund Bluetooth-Schnittstelle auf den Markt zu bringen. DieProduktionskosten betragen 20 Euro und der geplante Absatzpreisliegt bei 65 Euro. Alternativ stehen zwei Fertigungsstraßen zur Produktion zur Verfügung, die allerdings nicht nur mit unterschiedlichen Investitionskosten verbunden sind, sondern auch Produktionsmängel in unterschiedlichem Ausmaß verursachen.
Anlage 1: Jährliche Kosten: 600.000 Euro 5% Defekte an den LEDs; die Bewegungsmelder funktionieren immer einwandfrei und nur bei 97 % funktioniert die Steuerung über Bluetooth.
Anlage 2: Jährliche Kosten: 750.000 Euro 1% Defekte an den LEDs; bei 3% funktionieren die Bewegungsmelder nicht einwandfrei, die Steuerung über Bluetooth funktioniert immer.
Kosten für die Beseitigung der Mängel:
Sind die LEDs defekt, so werden sie ausgetauscht und verursachen Kosten in Höhe von 6 Euro.
Der Austausch der Bewegungsmelder kostet 12 Euro.
Eine defekte Bluetooth-Schnittstelle verursacht Kosten in Höhe von 9 Euro.
Hat eine Lampe zwei oder mehr Mängel wird sie entsorgt.
Analysiere die Situation und gebe der Erleuchtung GmbH & Co KG eine Empfehlung.
Wiederholung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 0 – Unterricht -1
Ein Hersteller führt nach Fertigstellung der Spiegel drei Arten von Qualitätskontrollen durch. Es wird der Spiegelrahmen R, die Funktion F und ob die Oberfläche des Spiegels O einwandfrei ist, untersucht. Der Rahmen ist zu 6% beschädigt, die Oberfläche zu 8% nicht einwandfrei.
Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar! Lösung:
Rahmen
Oberfläche
defekt
okay
defekt
0,480%
7,520%
8%
okay
5,520%
86,480%
92%
6%
94%
100%
Fehler im Unterricht: Stelle um eine Dezimale verschoben!!!!!
Aufgabe 0 – Hausaufgabe -2
Ein Hersteller führt nach Fertigstellung der Spiegel drei Arten von Qualitätskontrollen durch. Es wird der Spiegelrahmen R, die Funktion F und ob die Oberfläche des Spiegels O einwandfrei ist, untersucht. Bei nur 93% der Spiegel ist die Funktion ohne Mangel und bei 6% ist der Rahmen beschädigt.
Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar! Lösung – Hausaufgabe
Aufgabe 1 – (26 Punkte)
HA: Mit der Aufgabenstellung vertraut machen! Lösungsansatz!!!
Ein Hersteller führt nach Fertigstellung der Spiegel drei Arten von Qualitätskontrollen durch. Es wird der Spiegelrahmen R, die Funktion F und ob die Oberfläche des Spiegels O einwandfrei ist, untersucht. Der Rahmen ist zu 6% beschädigt, die Oberfläche zu 8% nicht einwandfrei und bei nur 93% der Spiegel ist die Funktion ohne Mangel.
Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. (10 Punkte)
Wie groß ist die Ergebnismenge? (3 Punkte)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spiegel ohne jeglichen Mangel ist?(4 Punkte)
Überprüfe die Aussage: Weniger als 1% der Spiegel hat mehr als einen Mangel. (9 Punkte)
2. Aufgabe – (26 Punkte)
Ein Hersteller führt nach Fertigstellung der Spiegel drei Arten von Qualitätskontrollen durch.
Es wird der Spiegelrahmen R, die Funktion F und ob die Oberfläche des Spiegels O einwandfrei ist, untersucht. Der Rahmen ist zu 5% beschädigt, die Oberfläche zu 9% nicht einwandfrei und bei nur 92% der Spiegel ist die Funktion ohne Mangel.
Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. (10 Punkte)
Wie groß ist die Ergebnismenge? (3 Punkte)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spiegel ohne jeglichen Mangel ist? (4 Punkte)
Überprüfe die Aussage: Weniger als 1% der Spiegel hat mehr als einen Mangel. (9Punkte)
Aufgabe 3– Stochastik – Aufgabe – Unterricht
Immer hä ufiger werden portable Beamer und Lautsprechersysteme sowohl für den privaten als auch den beruflichen Bereich nachgefragt. Um die Qualitätsführerschaft auch in Zukunft halten zu können, legt der Hersteller „1SUS GmbH“ großen Wert auf ein strenges Qualitätsmanagement für die neue „Eyebox®“.
Eine Versuchsreihe hat ergeben, dass in 2 % der Fälle das Gehäuse (G), in 1 % die Beamerlinse (B) und in 4 % der Fälle die Lautsprecher (L) Fehler aufweisen.
Stellen Sie diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm mit den entsprechenden Prozentanteilen dar. (8 Punkte)
Eine Eyebox ist einwandfrei, wenn in allen Prüfungsbereichen festgestellt wird, dass keine Fehler vorliegen. Untersuchen Sie, ob das Werbeversprechen an die Großhändler richtig ist, dass mehr als 90 % der ausgelieferten Eyeboxen einwandfrei sind. (3 Punkte)
Prüfen Sie, ob die Aussage stimmt, dass weniger als 6 % der Eyeboxen bei der Endkontrolle nur in einem Funktionsbereich nicht einwandfrei sind. (3 Punkte)
In einem Interview mit dem Fachmagazin „Fledermaus“ lobt der Pressesprecher des Unternehmens die hohe Qualität und behauptet, dass von 1.000.000 produzierten Eyeboxen weniger als 10 Stück bei der Endkontrolle in allen geprüften Funktionsbereichen Fehler aufwiesen. Nehmen Sie begründet Stellung. (3 Punkte)
Ein wesentliches Bauteil der Box ist ein LCoS-Chip (Liquid Crystal on Silicon). Hiervon werden jeweils 1.000 Stück pro Tag produziert. Der Prozessor wird bisher manuell montiert. Aufgrund der langjährigen Erfahrung der Mitarbeiter sind die Fehler bei diesem Lötverfahren zu vernachlä ssigen.Die Unternehmensführung beabsichtigt nun aus Effizienz- und Produktivitätsgründen einen Roboter für die Montage einzusetzen. Es ist davon auszugehen, dass 2,5 % der Lötpunkte fehlerhaft sind. Insgesamt gibt es 9 Lötpunkte auf der Platine des Prozessors. Weist ein Prozessor mehr als drei defekte Lötpunkte auf, soll dieser ersetzt werden. Der Produktionsleiter äußert Bedenken und meint, dass durch die Automatisierung täglich Ausschuss produziert würde. Außerdem sei nicht auszuschließen, dass schon ein defekter Lötpunkt zu Vibrationen im Lautsprecher führen könnte.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als win Lötpunkt defekt ist?
Aufgabe 4– Stochastik – Hausaufgabe
Immer häufiger werden portable Beamer und Lautsprechersysteme sowohl für den privaten als auch den beruflichen Bereich nachgefragt. Um die Qualitätsführerschaft auch in Zukunft halten zu können, legt der Hersteller „1SUS GmbH“ großen Wert auf ein strenges Qualitätsmanagement für die neue „Eyebox®“.
Eine Versuchsreihe hat ergeben, dass in 5 % der Fälle das Gehäuse (G), in 2 % die Beamerlinse (B) und nur in 94 % der Fälle die Lautsprecher (L) keinen Fehler aufweisen.
Stellen Sie diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm mit den entsprechenden Prozentanteilen dar. (8 Punkte)
Eine Eyebox ist einwandfrei, wenn in allen Prüfungsbereichen festgestellt wird, dass keine Fehler vorliegen. Untersuchen Sie, ob das Werbeversprechen an die Großhändler richtig ist, dass mehr als 85 % der ausgelieferten Eyeboxen einwandfrei sind. (3 Punkte)
Prüfen Sie, ob die Aussage stimmt, dass weniger als 8,5 % der Eyeboxen bei der Endkontrolle nur in einem Funktionsbereich nicht einwandfrei sind. (3 Punkte)
In einem Interview mit dem Fachmagazin „Fledermaus“ lobt der Pressesprecher des Unternehmens die hohe Qualität und behauptet, dass von 2.000.000 produzierten Eyeboxen weniger als 25 Stück bei der Endkontrolle in allen geprüften Funktionsbereichen Fehler aufwiesen. Nehmen Sie begründet Stellung. (3 Punkte)
Ein wesentliches Bauteil der Box ist ein LCoS-Chip (Liquid Crystal on Silicon). Hiervon werden jeweils 5.000 Stück pro Tag produziert. Der Prozessor wird bisher manuell montiert. Aufgrund der langjährigen Erfahrung der Mitarbeiter sind die Fehler bei diesem Lötverfahren zu vernachlä ssigen.Die Unternehmensführung beabsichtigt nun aus Effizienz- und Produktivitätsgründen einen Roboter für die Montage einzusetzen. Es ist davon auszugehen, dass 3,5 % der Lötpunkte fehlerhaft sind. Insgesamt gibt es 12 Lötpunkte auf der Platine des Prozessors. Weist ein Prozessor mehr als drei defekte Lötpunkte auf, soll dieser ersetzt werden. Der Produktionsleiter äußert Bedenken und meint, dass durch die Automatisierung täglich Ausschuss produziert würde. Außerdem sei nicht auszuschließen, dass schon ein defekter Lötpunkt zu Vibrationen im Lautsprecher führen könnte.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Lötpunkt defekt ist?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Lötpunkt defekt ist?
Einfache Erklärung der Grundbegrffe von simpleMath
