Analysis – Grundlagen

Merkblatt mit wesentlichen Regeln zur Lösung der Aufgaben : Merkblatt Differentialrechnung 1

1. Ableiten von Funktionen

infohttp://bkoertretung.bplaced.net/wordpress/mathematik-uebe
rsicht/4-analysis/analysis-info/

Informationsblatt zum Ableiten

 

youtube

erklärt durch ….

 

nännchenAufgabeÜbungsaufgaben zum Ableiten:

  1. Schaut Euch das Video an:
    https://www.youtube.com/watch?v=4_e-KRJbXUg
  2. Beantwortet folgende Frage:
    1. Wozu leitet man ab?
    2. Wie geht das?
  3. Bestimme für folgende Funktionen Funktionen jeweils die erste Ableitung und bestimme die Steigung an der Stelle x= -1 (d.h. f'(-1)= ?) und x=2  (d.h. f'(2)= ?)
  4. Leite die Funktionen (Funktionen)  dreimal ab und Funktionen Nr.: 2,4,6,7,8,11,13,14,15,16

Beispiellösung:

Funktion:
f(x) = 4 x4 + 4x3 – 1/3 x2 + 10x – 8

Ableiten:
f‘(x) = 4*4 * x 4-1 + 4*3*x 3-1 – 2*1/3 x 2-1 + 10 *1 * x 1-1
          = 16 x 3 + 12 x 2 – 2/3 x + 10

Steigung an der Stelle
x= -1:
f(-1) = 16 * (-1)3 + 12 (-1) 2 – 2/3 *(-1) +10 = -16 +12 -2/3 +10 = 5,33
->Die Funktion hat an der Stelle x=-1 die Steigung 5,33.

x= 2:
f‘(2) = 16 * (2)3 + 12 (2) 2 – 2/3 *(2) +10 = 184,667
->Die Funktion hat an der Stelle x=2 die Steigung 184,67.

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2. Hoch- und Tiefpunkte (Extremstellen) von Funktionen)

infoBeispiel-Rechnung: AB-HochTiefPunkte

Guckt Euch vorher erst das Video an. https://www.youtube.com/watch?v=zCA7GI0yIfg

 

Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der folgenden Funktionen: 

  1. f(x) = x 3 + 1,5 x 2 + 8 x + 6
  2. f(x) = x 3 – 8 x 2 + 30 x + 50
  3. f(x) = 0,125 x 3 – 0,375 x 2 – 1, 125 x + 2,375
  4. f(x) = -0,5 x 3 + 0,5 x 2 + 3 x + 10
  5. f(x) = – x 3 + 6 x 2 + 15 x – 56

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3. Berechnung von Schnittpunkten mit der -Achse

infoInfo-Nullstellen-1
info-Schnittpkte-x-Achse

Bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades kann man x01,  x02und x03 mit dem TR bestimmen:

Beispiel: f(x) = – 0,5x 3 – 0,5 x 2 + 17 x – 16 = 0

CASIO fx-99 …

-> Home -> xy=0 Gleichung (exe) Polynom-Gleich. (exe) zweite Zeile (exe)  Zahlen eingeben: 

-> a = -0,5; b=-0,5 c= 17; d=-16

TR bestimmt Nullstellen:

-> x1 = -6,75 (exe) x2= 4,75 (exe) x3 = 1  ;

Texas Instruments …
TR.: 2nd poly-sov ->  2. Funktion -> enter

-> a = -0,5; b=-0,5 c= 17; d=-16

-> x1 = -6,75 ; x2= 4,75; x3 = 1

nännchenAufgabeBestimme von den Funktionen 1-5 die Schnittpunkte mit den Achsen

  1. f(x) = x 3 + 1,5 x 2 + 8 x + 6
  2. f(x) = x 3 – 8 x 2 + 30 x + 50
  3. f(x) = 0,125 x 3 – 0,375 x 2 – 1, 125 x + 2,375
  4. f(x) = -0,5 x 3 + 0,5 x 2 + 3 x + 10
  5. f(x) = – x 3 + 6 x 2 + 15 x – 56

AB-NullstellenBestimmen

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4. Berechnung von Wendepunkten

Was das ist und wie die Berechnung funktioniert findet Ihr hier:

infoBeispielrechnung: i-Wendepunkte

nännchenAufgabeBestimmt nun für die Funktionen (1-5) noch die Wendepunkte.

  1. f(x) = x 3 + 1,5 x 2 + 8 x + 6
  2. f(x) = x 3 – 8 x 2 + 30 x + 50
  3. f(x) = 0,125 x 3 – 0,375 x 2 – 1, 125 x + 2,375
  4. f(x) = -0,5 x 3 + 0,5 x 2 + 3 x + 10
  5. f(x) = – x 3 + 6 x 2 + 15 x – 56

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5. Kurvendiskussion: Berechnung von Nullstellen, Hoch-, Tief-  und Wendepunkten

  1. Ableitungen – Übungen   – Lösungen
  2. Arbeitsblatt 1 (mit Lösungsweg) Alles außer d)
  3. Arbeitsblatt 2 (mit Lösungsweg) Alles außer d)
  4. Arbeitsblatt 1 – Kurvendiskussion mit Lösung  Arbeitsblatt 1 (mit Lösungsweg) Funktionen Nr.: 2,4,6,7,8,11,13,14,15,16
  5. Aufgaben: Buch S. 186 Aufgabe 1

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6. Bestimmen von Gleichungen durch Gaußsche Elimination

 

info1. Gleichungen aufstellen:

https://simpleclub.com/lessons/mathematik-steckbriefaufgaben

Bildschirmfoto 2025-01-25 um 11.10.41wissen-mathematiker-gausswissen-mathematiker-gauss2. Gauß-Algorithmus:

https://www.youtube.com/watch?v=DqXQtgRfFS4

oder

https://www.youtube.com/watch?v=BkU8zejSys4

 

Steckbriefaufgaben – Bestimmen von Funktionen

  1. Lineare Funktionen –  Bestimmen der Funktionsgleichung anhand zweier Punkte – mit Beispiel
  2. Quadratische Funktionen – Bestimmen der Funktionsgleichung anhand von 3 Punkten –   Beispiel & Aufgaben
  3. Funktionen 3.Grades – Bestimmen der Funktionsgleichung anhand von 4 Punkten – Beispiel
  4. Funktionen 3. Grades – weiteres Beispiel
  5. Funktionen 3. Grades – Aufgaben
  6. Arbeitsblatt mit 13 Steckbriefaufgaben mit Lösung (ohne Lösungsweg)
  7. ausführliche Lösung Steckbriefaufgaben handschriftlich an zwei Beispielen

Bestimme die Gleichungen …

GegebennännchenAufgabe sind jeweils 4 Punkte. Stelle für jeden dieser Punkte eine Gleichung auf und vereinfache diese. Versuche dann die Funk
tionsgleichung zu bestimmen

f(x) =  a*x 3 + b* x 2 + c* x + d

  1. P1(-5 l -325);P2(-3 l -71);P3( 0 l 25);P4(4 l 125) 
  2. P1(-3 l 162);P2(0 l -15);P3( 4 l 251);P4(5 l- 510)
  3. P1
    (-4 l -204);P2(-2 l -14);P3( 2 l 42);P4(0 l 20)
    Lösung: Lös_AufgabLös_Gauß-3e3 Unterricht am 3.3.
  4. P1(-2 l -29);P2(0 l 7);P3( 4 l-37);P4 (-3 l 61)

Kontrolle: Lösung ohne Lösungsweg: Funktionen 3. Grades

Arbeitsblatt mit 13 Steckbriefaufgaben mit Lösung (ohne Lösungsweg)

Zur Erklärung siehe Steckbriefaufgaben 2.1. bis 2.4 und Lösungen: http://bkovertretung.bplaced.net/wordpress/mathematik-uebersicht/4-analysis/

K. Fröhlig