Lineare Funktionen sind mathematische Funktionen, die eine gerade Linie im Koordinatensystem darstellen. Sie haben die allgemeine Form:

Dabei gilt:

• m ist die Steigung der Geraden (wie stark sie steigt oder fällt).
• b ist der y-Achsenabschnitt, also der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

📌 Wozu dienen lineare Funktionen?

Lineare Funktionen sind in vielen Bereichen nützlich, z. B.:

🔹 Alltag

• Handyvertrag: monatliche Grundgebühr + Kosten pro Minute
• Taxi: Grundpreis + Preis pro Kilometer

🔹 Mathematik & Schule (…)

🔹 Wirtschaft & Ökonomie

• Kostenfunktionen: z. B. K(x)=5x+200 (variable + fixe Kosten)
• Erlösfunktionen: z. B. E(x)=12x (Preis pro Stück mal Menge)
• Gewinnfunktionen: Differenz aus Erlös und Kosten

🔹 Physik & Technik (…)

Bei linearen Funktionen in der Mathematik kann man eine ganze Reihe von Dingen berechnen und analysieren. Hier ist eine strukturierte Übersicht:

🔹 Grundlegende Berechnungen

1. Funktionswert berechnen
   Für eine Funktion der Form f(x)=mx+b kann man für einen gegebenen $x$-Wert den entsprechenden y-Wert berechnen.
2. Steigung m bestimmen und interpretieren …
   Gibt an, wie stark die Funktion steigt oder fällt.
   • m>0: steigend
   • m<0: fallend
   • m=0: konstant (parallel zur x-Achse)
3. Nullstelle berechnen
   Setze f(x)=0 und löse nach $x$ auf:
   0=mx+b⇒…
4. Schnittpunkt mit der y-Achse
   Das ist einfach der y-Achsenabschnitt $b$, also f(0)=b.
5. Geradengleichung aufstellen und zeichnen
   • Aus zwei Punkten:
     m=y2−y1 / x2−x1
     Dann in y=mx+b einsetzen, um $b$ zu finden.
   • Aus einem Punkt und der Steigung.
6. Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
   Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen und nach x auflösen und dann in f(x) einsetzen

🔹 Ökonomische Anwendungen (besonders relevant für deinen Unterricht)

1. Kostenfunktionen
   K(x)=mx+b, wobei:
   • m: variable Kosten pro Stück
   • b: Fixkosten
2. Erlösfunktionen
   E(x)=p⋅x, wobei p der Preis pro Stück ist.
3. Gewinnfunktionen
   G(x)=E(x)−K(x)
4. Break-even-Point (Gewinnschwelle)
   E(x)=K(x) → Schnittpunkt von Erlös- und Kostenfunktion