Informationsmaterial

Ableiten von Funktionen

Guckt Euch vorher erst das Video an. Dann können wir Fragen dazu klären.

1. Schaut Euch das Video an:
   https://www.youtube.com/watch?v=4_e-KRJbXUg
2. Beantwortet folgende Frage:
   1. Wozu leitet man ab?
   2. Wie geht das?
3. Bestimme für folgende Funktionen Funktionen jeweils die erste Ableitung und bestimme die Steigung an der Stelle x= -1 (d.h. f'(-1)= ?) und x=2  (d.h. f'(2)= ?)

Beispiellösung:

Funktion:
f(x) = 4 x⁴ + 4x³ – 1/3 x² + 10x – 8

Ableiten:
f‘(x) = 4*4 * x ^4-1 + 4*3*x ^3-1 – 2*1/3 x ^2-1 + 10 *1 * x ^1-1
          = 16 x ³ + 12 x ² – 2/3 x + 10

Steigung an der Stelle
x= -1:
f(-1) = 16 * (-1)³ + 12 (-1) ² – 2/3 *(-1) +10 = -16 +12 -2/3 +10 = 5,33
->Die Funktion hat an der Stelle x=-1 die Steigung 5,33.

x= 2:
f‘(2) = 16 * (2)³ + 12 (2) ² – 2/3 *(2) +10 = 184,667
->Die Funktion hat an der Stelle x=2 die Steigung 184,67.

Übungsaufgaben zum Ableiten:

Leite die Funktionen (Funktionen)  dreimal ab und Funktionen Nr.: 2,4,6,7,8,11,13,14,15,16
http://bkoertretung.bplaced.net/wordpress/mathematik-uebe
rsicht/4-analysis/analysis-info/

 

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Hoch- und Tiefpunkte (Extremstellen) von Funktionen)

Guckt Euch vorher erst das Video an. Dann können wir um 10:00 Uhr Fragen dazu klären.

• https://www.youtube.com/watch?v=zCA7GI0yIfg

Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der folgenden Funktionen: 

1. f(x) = x ³ + 1,5 x ² + 8 x + 6
2. f(x) = x ³ – 8 x ² + 30 x + 50
3. f(x) = 0,125 x ³ – 0,375 x ² – 1, 125 x + 2,375
4. f(x) = -0,5 x ³ + 0,5 x ² + 3 x + 10
5. f(x) = – x ³ + 6 x ² + 15 x – 56

… und stelle sie nach Teams / Aufgaben.

Beispiel-Rechnung: AB-HochTiefPunkte

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Berechnung von Schnittpunkten mit der -Achse

info-Schnittpkte-x-Achse

Bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades kann man x_01,  x₀₂und x₀₃ mit dem TR bestimmen:

Beispiel: f(x) = – 0,5x ³ – 0,5 x ² + 17 x – 16 = 0

CASIO fx-99 …

-> Home -> xy=0 Gleichung (exe) Polynom-Gleich. (exe) zweite Zeile (exe)  Zahlen eingeben: 

-> a = -0,5; b=-0,5 c= 17; d=-16

TR bestimmt Nullstellen:

-> x1 = -6,75 (exe) x2= 4,75 (exe) x3 = 1  ;

Texas Instruments …
TR.: 2nd poly-sov ->  2. Funktion -> enter

-> a = -0,5; b=-0,5 c= 17; d=-16

-> x1 = -6,75 ; x2= 4,75; x3 = 1

Bestimme von den obigen Funktionen 1-5 die Schnittpunkte mit den Achsen.

AB-NullstellenBestimmen

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Berechnung von Wendepunkten

Was das ist und wie die Berechnung funktioniert findet Ihr hier:
https://www.youtube.com/watch?v=DM9uYJK5-fc

Beispielrechnung: i-Wendepunkte

Bestimmt nun für die Funktionen (1-5) noch die Wendepunkte.

1. f(x) = x ³ + 1,5 x ² + 8 x + 6
2. f(x) = x ³ – 8 x ² + 30 x + 50
3. f(x) = 0,125 x ³ – 0,375 x ² – 1, 125 x + 2,375
4. f(x) = -0,5 x ³ + 0,5 x ² + 3 x + 10
5. f(x) = – x ³ + 6 x ² + 15 x – 56

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Kurvendiskussion: Berechnung von Nullstellen, Hoch-, Tief-  und Wendepunkten

1. Ableitungen – Übungen   – Lösungen
2. Arbeitsblatt 1 (mit Lösungsweg) Alles außer d)
3. Arbeitsblatt 2 (mit Lösungsweg) Alles außer d)
4. Arbeitsblatt 1 – Kurvendiskussion mit Lösung  Arbeitsblatt 1 (mit Lösungsweg) Funktionen Nr.: 2,4,6,7,8,11,13,14,15,16
5. Aufgaben: Buch S. 186 Aufgabe 1

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Bestimmen von Gleichungen durch Gaußsche Elimination

Bestimme die Gleichungen …

Gegeben sind jeweils 4 Punkte. Stelle für jeden dieser Punkte eine Gleichung auf und vereinfache diese. Versuche dann die Funk
tionsgleichung zu bestimmen

f(x) =  a*x ³ + b* x ² + c* x + d

1. P₁(-5 l -325);P2(-3 l -71);P3( 0 l 25);P4(4 l 125) 
2. P₁(-3 l 162);P2(0 l -15);P3( 4 l 251);P4(5 l- 510)
3. P₁
   (-4 l -204);P2(-2 l -14);P3( 2 l 42);P4(0 l 20)
   Lösung: Lös_AufgabLös_Gauß-3e3 Unterricht am 3.3.
4. P₁(-2 l -29);P2(0 l 7);P3( 4 l-37);P4 (-3 l 61)

Kontrolle: Lösung ohne Lösungsweg: Funktionen 3. Grades

Arbeitsblatt mit 13 Steckbriefaufgaben mit Lösung (ohne Lösungsweg)

Zur Erklärung siehe Steckbriefaufgaben 2.1. bis 2.4 und Lösungen: http://bkovertretung.bplaced.net/wordpress/mathematik-uebersicht/4-analysis/

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Steckbriefaufgaben – Bestimmen von Funktionen

1. Lineare Funktionen –  Bestimmen der Funktionsgleichung anhand zweier Punkte – mit Beispiel
2. Quadratische Funktionen – Bestimmen der Funktionsgleichung anhand von 3 Punkten –   Beispiel & Aufgaben
3. Funktionen 3.Grades – Bestimmen der Funktionsgleichung anhand von 4 Punkten – Beispiel
4. Funktionen 3. Grades – weiteres Beispiel
5. Funktionen 3. Grades – Aufgaben
6. Arbeitsblatt mit 13 Steckbriefaufgaben mit Lösung (ohne Lösungsweg)
7. ausführliche Lösung Steckbriefaufgaben handschriftlich an zwei Beispielen

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Ökonomische Anwendungen

 

Grafische Darstellung relevanter Funktionen

AB Grafische Darstellung des Monopols
-> (AB_Monopol_Graph_s-kfkt) 
Berechnung der Gewinnschwelle /-Grenze und Gewinnmaximum

Gewinnanalyse

Jetzt geht es zu der Anwendung:
Bestimme nun für die folgenden Gewinnfunktionen das Gewinnmaximum, die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze:

1. G(x) = -0,25x³ + 12,75 x – 12,5
2. G(x) = – 0,6 x³ – 20 x ² + 5500 x – 25000
3. G(x) = – 0,01 x³ + x ² + 10 x – 200
4. G(x) = -0,5 x³ – 5 x ² + 80 x – 50
5. G(x) = – x³ – 63 x ² + 705 x – 1150

I- Berechnung des Gewinnmaximums …

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Analyse der Erlös-, Preis- und Gewinnsituation

Wir berechnen ….

1. die Erlös- und Gewinnfunktion
2. das Erlösmaximum
3. die Sättigungsmenge
4. das Gewinnmaximum
5. die Gewinnschwelle und Gewinngrenze
   (Gewinnzone)
6. den Cournotschen Punkt

Aufgaben- AB-Anal-GewErl

Lösung Aufgabe 5
Mathe-15-2-24

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Kostenanalyse

Wir berechnen die

• kurzfristige Preisuntergrenze
• langfristige Preisuntergrenze
• die Menge, ab der die Kosten überproportional ansteigen.

Wir rechnen im Unterricht mit folgender Kostenfunktion:

K(x) =  0,1x ³ – 7 x ² + 220 x + 800

Rechenweg:I-Rechenweg_Analyse der Kostenfunktionen

Ihr rechnet als Hausaufgabe für folgende Kostenfunktionen das
Betriebsminimum / Betriebsoptimum

1. K(x)  = 3x ³ – 20 x ² + 74 x + 204
2. K(x) =  0,05x ³ – 1,2 x ² + 10 x + 156

Infos dazu findet Ihr hier:

http://bkovertretung.bplaced.net/wordpress/mathematik-uebersicht/4-analysis/analysis-info/

… und rechnen ein weiteres Beispiel zur Kostenanalyse.
K(x) = x ³ – 12 x ² + 50 x + 100

Rechenweg:I-Rechenweg_Analyse der Kostenfunktionen

Ihr rechnet als Hausaufgabe folgende Kostenfunktionen (2):

1. K(x)  = x ³ – 12 x ² + 60 x + 98
2. K(x) =  0,25x ³ – 0,5 x ² + 2 x + 9

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Weitere Aufgaben

Aufgaben aus dem Buch : AB_ÖkonoAnwendung_Funktionen_Buch 

Umfangreiche Aufgabe zur ökonomischen Anwendung  (mit Lösung)

Lernsituation: Produktion & Verkauf von Seifenkisten – Analyse der Kosten- und Gewinnsituation – Aufgabe – Lösung  

 

Arbeitsblätter mit Lösungen vom Berufskolleg Düren
Beachte: Nutzenschwelle /-grenze = Gewinnschwelle /-grenze

1. Arbeitsblatt poly2_mit_differentialrechnung
2. Arbeitsblatt 3 – Polypol
3. Arbeitsblatt 4 – Polypol
4. Arbeitsblatt 5 – Monopol
5. Arbeitsblatt 6 – Monopol
6. Arbeitsblatt 7 – Monopol

 

Übungsaufgaben

1. Klausur 2017 (1KL_WFH12_2017) im Unterricht. (Lösung_1Klausur_A Achtung: Seite 2 und Seite 3 vertauscht)
2. 3KL_WFH11_2023-Probearbeit

Weitere Aufgaben: Ökonomische  Anwendung

1. Aufgabe

Gegeben sind folgende Funktionen:

K(x) =  0,1x ³ – 7 x ² + 220 x + 800
p(x) = -15x + 1000

2. Aufgabe

Gegeben sind folgende Funktionen:

K(x) =  0,05x ³ – 1,2 x ² + 10 x + 156
p(x) = -1,25x + 50

Berechne:

1. Das Betriebsminimum
2. Das Betriebsoptimum
3. Die Menge, ab der die Kosten überproportional steigen (Wendepunkt der Kostenfunktion)
4. Die Sättigungsmenge
5. Das Erlösmaximum
6. Das Gewinnmaximum & den gewinnoptimalen Preis:
7. Die Gewinnzone (Gewinnschwelle & Gewinngrenze)

Antwortsatz zum gewinnoptimalen Preis (= Cournotscher Punkt):
Der Monopolist sollte seinen Preis auf 30 Geldeinheiten festlegen. Dann kann er 16 Mengeneinheiten absetzen. Bei dieser Menge erzielt er den höchstmöglichen Gewinn in Höhe von 266 Geldeinheiten.

3. Aufgabe

Ein Hersteller von HighTech-Vespa hat die folgende Preisabsatz p(x) = -6*x + 100
sowie die Kostenfunktion
K(x) = 0,2 x³ – 4 x² +25x+100 

.

Berechnen Sie folgende ökonomischen Punkte bzw. Funktionen:

1. Gewinn- und Erlösfunktion: G(x) und E(x)
2. die Sättigungsmenge und das Erlösmaximum E_Max
3. das Gewinnmaximum G_Max und _den Cournotscher Punkt CP (gewinnmaximaler Preis)
4. Gewinnzone mit Gewinnschwelle GS und Gewinngrenze GG
5. Betriebsminimum BM und Kurzfristige Preisuntergrenze KPU
6. Betriebsoptimum BO und Langfristige Preisuntergrenze LPU

5. Aufgabe – Steckbriefaufgaben

Steckbriefaufgaben: AB_ÖkonAnwSteckbriefaufgaben_2
Lösung Aufgabe 5 und Aufgabe 6:  Lös_Steckbrief_A5&A6
Lösung Aufgabe 3,4,5: Notiz 20.03.2019
Lösung Aufgabe 7&8 Notiz 21.03.2019
Lösungshinweise Aufgaben 9,10,11: Notiz 31.03.2020